בעמוד זה אנחנו מרכזים את הנוסחאות של הנגזרות כולל הסבר קצר מתומצת במידת הצורך וכולל דוגמאות.
למידה מרוכזת יותר בנושאי נגזרות, תמצאו באתר בעמודים הבאים (חלק מהעמודים בהקמה):

  1. נגזרת של מספר או קבוע
  2. נגזרת של ישר ax+b
  3. נגזרת של פרבולה ax2+bx+c הבסיס
  4. נגזרת של פולינום ax2+bx+c מתקדם
  5. נגזרת של מכפלת פונקציות f(x)xg(x)
  6. נגזרת של מנה (חלוקה) של פונקציות f(x)/g(x)
  7. נגזרת מורכבת (פונקציה בתוך פוקציה)
  8. נגזרת של שורש
  9. נגזרת של פרמטר

 

חוקי הנגזרות העיקריים:

  1. נגזרת של חזקה
  2. נגזרת של סכום פונקציות
  3. נגזרת של מכפלה
  4. נגזרת של חלוקה
  5. נגזרת של שורש
  6. תרגילים לגזירת פולינום

 

כללים לגזירת פולינום

כאשר אנחנו ניגשים לגזור חזקות, נעמוד בכלל הבא:
אם נתונה הפונקציה:
\(f(x)=ax^n\)
הנגזרת שלה תהיה
\(f'(x)=n \cdot ax^{n-1}\)

אם נתונים הפונקציות
\(f(x) + g(x)\)
אז הנגזרת של סכום הפונקציות יהיה
\((f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)\)
לשם ההבהרה נוכל לומר ש \(f(x)=3x^2 , g(x)=3x\)
אז סכום שתי הפונקציות הוא
\(6x+3\)

אם נתונה המכפלה הבאה:

\(y = f(x)\cdot g(x)\)
אז הנגזרת של הפונקציה נתונה ע״י
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

אם נתונה הפונקציה הבאה:

\(y = \frac{f(x)}{g(x)}\)
אז נגזרת שלה תוגדר ע״י
\(y’ = \frac{ f'(x)\cdot g(x) – f(x) \cdot g'(x)}{\left [ g(x) \right ]^2}\)

נגזרת של שורש מוגדרת כך:
\(f(x)=\sqrt x \Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\)

ואם בתוך הנגזרת יש פונקציה אז

\(f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x) \)

תרגול גזירת פולינום:

 

תרגיל 1:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(f(x) = 3x^5\)
פתרון והסבר
נשתמש בחוק הראשון שלמדנו
\(f'(x)=n \cdot ax^{n-1}\)
ולכן נגזרת הפונקציה, תהיה:
\(f'(x)=5 \cdot 3x^{4} = 15x^4\)
תרגיל 2:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(y(x) = -7x^2 + 2x\)פתרון והסבר
נשתמש בשני החוקים שלמדנו על גזירת חזקה והחוק המתאר את גזירת סכום פונקציות
\(f'(x)=n \cdot ax^{n-1}\) ו \((f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)\)
פתרון והסבר:
עם הניסיון תוכלו לגזור את הפונקציה בשלב אחד, אבל בואו ונעשה זאת בכמה שלבים:
ראשית נוכל לתאר את הפונקציה y כסכום של שתי פונקציות
\(f(x)=-7x^2\) ו \(g(x)=2x\)
נגזור כל אחת מהן בנפרד ואז נחבר אותם לפי\((f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)\)\(f'(x)=-2 \cdot 7x\)
ו
\(g'(x)=2\)ולכן:
\(y'(x) = f'(x)+g'(x) = -7x+2\)
תרגיל 3:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(y(x) = 3x(2x-x^2)\)
פתרון והסבר
נשתמש בחוק לגזירת מכפלה של פונקציות
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)במקרה שלנו
\(f(x) = 3x \rightarrow f'(x)=3\)
ו
\(g(x) = 2x-x^2 \rightarrow g'(x) = 2-2x\)כעת נציב את שנגזרות והפונקציות בנוסחה
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
ונקבל
\(y'(x) = 3 \cdot (2x-x^2 ) + (2-2x) \cdot 3x\)
נפתח סוגריים ונקבל
\(y'(x) = 6x -3x^2 +6x -6x^2\)
ונסיים
\(y'(x) = 12x-9x^2\)
לא חובה, אבל אפשר לבדוק את עצמנו
אם נגזור את תוצאת המכפלה הראשונה
\(y(x) = 3x(2x-x^2) = 6x^2 – 3x^3\)
כעת פשוט נגזור את הסכום הזה
\(y'(x) = (6x^2 – 3x^3)’ = 2 \cdot 6x – 3\cdot 3x^2\)
נסיים את הבדיקה
\(y'(x) = 12x-9x^2\)
תרגיל 4:
גזרו את פונקציה הזורש הבאה:
\(f(x) = \sqrt {7x+1}\)
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
\(f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x) \)
כאשר \(g(x) = 7x +1\) נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר \(g'(x)=7\)
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x+1}}\cdot 7\)
נצמצם עוד קצת ונקבל את הנגזרת
\(f'(x) = \frac{7}{2\sqrt{7x+1}}\)
תרגיל 5:
גזרו את פונקציה השורש הבאה:
\(f(x) = \sqrt {2x^2-5x+3}\)
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
\(f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow \)

\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x) \)
כאשר \(g(x) = 2x^2-5x+3\) נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר \(g'(x)=4x-5\)
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}\cdot (4x-5)\)נכתוב שוב ונציג בצורה פשוטה יותר
\(f'(x) = \frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}\)

תרגיל 6

גזרו את הפונקציה הבאה:
\((2x+1)(\sqrt{2x+1})\)

פתרון והסבר

זאת הדוגמא המסובכת ביותר עד עכשיו
בעצם יש לנו מכפלה של שתי פונקציות
\(f(x) = (2x+1)\) ו \(g(x)=\sqrt{2x+1}\)

לגזירת הפונקציה נשתמש בנוסחה לגזירת מכפלות
אם נתונה המכפלה הבאה:\(y = f(x)\cdot g(x)\)
אז הנגזרת של הפונקציה נתונה ע״י
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

בואו נפריד את המכפלה לשתי פונקציות, נגזור כל אחת בנפרד ונחבר הכל ביחד
\(f(x) = (2x+1) \Rightarrow f'(x) = 2\)

\(g(x) = \sqrt{2x+1}\)
הנגזרת קצת יותר מורכבת פה
\(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)’ \Rightarrow \)
\(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2\)
ונקבל נגזרת
\(g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\)

עכשיו רק נותר לבצע את המכפלות
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
אז
\(2 \sqrt{2x+1} + (2x+1)\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \)
נכתוב יפה יותר, כך
\(2 \sqrt{2x+1} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

שימו לב שיש טריק לכתיבה נוחה יותר של הנגזרת הסופית
נכפיל ונחלק את החלק השמאלי של הנגזרת ב \( \sqrt{2x+1}\)
ונקבל
\(2 \sqrt{2x+1}\cdot\frac{ \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

מה יש לנו כאן?
\(\frac{2 \sqrt{2x+1}\cdot \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

\(\frac{2\cdot(2x+1)}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

נחבר את את שני השברים בעלי המכנה המשותף
\(\frac{2\cdot(2x+1) +(2x+1)}{ \sqrt{2x+1}} \Rightarrow \frac{6x+3}{ \sqrt{2x+1}} \)
זהו סיימנו עם התרגיל הזה!!!

סגירת תפריט