כפל שברים אלגבריים

תרגיל 1:

בעיה: \(\frac{x}{3} \cdot \frac{2}{x}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה: לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-\(x\) מופיע במכנה, \(x\) לא יכול להיות שווה ל-0 כדי למנוע חלוקה באפס.
– נציין כי \(x ≠ 0\).

2. כפל השברים: בכפל שברים, מכפילים את המונים זה בזה ואת המכנים זה בזה:
\[
\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{x}\right) = \frac{x \cdot 2}{3 \cdot x}
\]

3. פישוט הביטוי: נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה \(x\):
\[
\frac{x \cdot 2}{3 \cdot x} = \frac{2}{3}
\]

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא \(\frac{2}{3}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ 0\).

 

תרגיל 2:

בעיה: \(\frac{2x}{5} \cdot \frac{3}{4x}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– מכיוון ש-\(x\) מופיע במכנה, נבדוק את תחום ההגדרה: \(x ≠ 0\).

2.כפל השברים:
\[
\left(\frac{2x}{5}\right) \cdot \left(\frac{3}{4x}\right) = \frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x}
\]

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום המשתנה \(x\): \(\frac{2x \cdot 3}{5 \cdot 4x} = \frac{6}{20}\).
– נפשט יותר על ידי צמצום ב-2: \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא \(\frac{3}{10}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ 0\).

תרגיל 3:

– בעיה: \(\frac{x^2 – 1}{x + 1} \cdot \frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– מכיוון ש-\(x + 1\) ו-\(x^2 + 2x + 1\) מופיעים במכנה, נבדוק את תחום ההגדרה: \(x ≠ -1\).

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים: \(\frac{x^2 – 1}{x + 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}\) ו-\(\frac{x – 1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x – 1}{(x+1)^2}\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} \cdot \frac{x – 1}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}\).

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \frac{x – 1}{x + 1}\).

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא \(\frac{x – 1}{x + 1}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ -1\).

 

תרגיל 4:

– בעיה: \(\frac{2x + 3}{x^2 – 9} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– המכנה הראשון \(x^2 – 9\) ניתן לפירוק: \((x-3)(x+3)\), לכן \(x ≠ -3, 3\).
– המכנה השני \(x + 3\), לכן \(x ≠ -3\).

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המכנה הראשון: \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{2x + 3}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x – 3}{x + 3}\).

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{(2x + 3)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+3)} = \frac{2x + 3}{x + 3}\).

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא \(\frac{2x + 3}{x + 3}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ -3, 3\).

 

תרגיל 5:

– בעיה: \(\frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 + 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 6x + 9}{x^2 – 2x – 3}\)

שלבים והסבר:

1. בדיקת תחום ההגדרה:
– לפני כל פעולה, נבדוק באילו ערכים המשתנה \(x\) אינו יכול לקבל:
– המכנה הראשון \(x^2 + 5x + 6\) ניתן לפירוק: \((x+2)(x+3)\), לכן \(x ≠ -2, -3\).
– המכנה השני \(x^2 – 2x – 3\) ניתן לפירוק: \((x-3)(x+1)\), לכן \(x ≠ 3, -1\).

2. פירוק לגורמים וכפל השברים:
– נפרק לגורמים את המונים והמכנים:
– \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).
– \(x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\).
– \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\).
– \(x^2 – 2x – 3 = (x-3)(x+1)\).
– נכפיל את השברים: \(\frac{(x-2)^2}{(x+2)(x+3)} \cdot \frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+1)}\).

3. פישוט הביטוי:
– נפשט את הביטוי על ידי צמצום הביטויים הזהים במונה ובמכנה: \(\frac{(x-2)^2(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-3)(x+1)}\).

4. התוצאה הסופית:
– התוצאה של כפל השברים היא \(\frac{(x-2)^2(x+3)}{(x+2)(x+3)(x-1)}\), תחת ההנחה ש-\(x ≠ -2, -3, 3, -1\).