בשיעור הזה נלמד על חוקי השורשים, מהו השורש? איך מוצאים שורש? חוקים שונים בנושאי שורשים ועוד.
תוכן עיניינים בחוקי שורשים:
- מהו השורש?
- כללים בסיסיים בנושאי שורשים
- תירגול החוקים הבסיסיים שימוש בחוקי חזקות וחוקי שורשים
- שורשים שכדאי לדעת
- שיולב של נוסחאות הכפל המקוצר והשורשים
מהו השורש?
בשלב הזה נתייסח לשורש ריבועי (חזקת חצי)
בהגדרתו הבסיסית ביותר, הוא למעשה חזקת חצי של המספר:
\(\sqrt{X} = X^{\frac{1}{2}}\)דרך נוספת להסתכלות על השורש היא לשאול איזה מספר חיובי בחזקת 2 יתן לנו את המספר שבתוך השורש
\(X=\sqrt{a} \Rightarrow a= X^2 \)
אפשר למור שיחסית ״קל״ לנו להעלות מספרים בחזקות שלמות, אבל כאשר אנחנו מנסים להעלות מספרים בחזקה שהיא שבר, העניין קצת מסתבך 🙂
חוקי יסוד בנושאי שורשים:
עכשיו כשאנחנו יודעים ששורש הוא בעצם חזקת חצי של מספר, אנחנו יכולים המשיך בכמה חוקי יסוד המגדירים שורשים
- סימון השורש הוא: \(\sqrt{}\)
- המספר a הוא שורש ריבועי של b אם מתקיים היחס :\(a^2=b\) כלומר \(a=\sqrt{b}\) דוגמאות לתרגול
- אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי – המספר שנמצא מתחת לשורש חיים להיות חיובי.
- למספר חיובי יש שני שורשים תמיד למשל לשורש \(\sqrt{4} = \) יש שני פתרונות \(s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2}\) מכיוון ש \( (-2)^2 = (2)^2 = 4 \)
- ניתן לפרק שורשים למכפלות בתוך השורש \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) דוגמאות לתרגול
- בדומה לנ״ל \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) מתקיים רק כש \( a>0 , b>0, n \in N\) דוגמאות לתרגול
- אם \(a\geq 0\) אז \(\sqrt{a^2} = a\) וגם \((\sqrt{a})^2=a\)
- \(\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n\)
- \(\sqrt[m]{a^n} = (\sqrt[m]{a})^n\)
- \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) מתקיים רק כש \( a>0 , b>0, n \in N\)
- שורש של שורש – התוצאה היא מכפלה של מעריכי השורש \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}\) – דוגמאות והסברים
תרגול שורשים
המספר a הוא שורש ריבועי של b אם מתקיים היחס :\(a^2=b\) כלומר \(a=\sqrt{b}\)
שאלה 1:איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 16?
אם נכפיל את המספר 4 בעצמו נקבל 16 ולכן 4 הוא שורש של 16 או \(\sqrt{16}=4\)
שאלה 2 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 49?
אם נכפיל את המספר 7 בעצמו נקבל 49 ולכן 7 הוא שורש של 49 או \(\sqrt{49}=7\)
שאלה 3 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?
אם נכפיל את המספר 10 בעצמו נקבל 100 ולכן 10 הוא שורש של 100 או \(\sqrt{100}=10\)
שאלה 4 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 6.25?
אם נכפיל את המספר 2.5 בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5 הוא שורש של 6.25 או \(\sqrt{6.25}=2.5\)
אי אפשר להוציא שורש למספר שלילי – המספר שנמצא מתחת לשורש חיים להיות חיובי.
אין כאן יותר מידי דוגמאות לתת
מספיק לראות שאין מספר טבעי שנעלה אותו בחזקה ונקבל מספר שלילי למשל:
\((-3) \cdot (-3) = 9\)
או
\((3) \cdot (3) = 9\)
למספר חיובי יש שני שורשים תמיד למשל לשורש \(\sqrt{4} = \) יש שני פתרונות \(s_{1}=-\sqrt{2} , s_{2}=\sqrt{2}\) מכיוון ש \( (-2)^2 = (2)^2 = 4 \)
נחזור על הדוגמאות מהסעיף הקודם ונראה של
שאלה 1:איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 16?
אם נכפיל את המספר 4 בעצמו נקבל 16 ולכן 4 הוא שורש של 16 או \(\sqrt{16}=4\)
אם נכפיל גם את המספר 4- בעצמו נקבל 16 ולכן 4- הוא שורש של 16 או \(\sqrt{16}=-4\)
שאלה 2 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 49?
אם נכפיל את המספר 7 בעצמו נקבל 49 ולכן 7 הוא שורש של 49 או \(\sqrt{49}=7\)
אם נכפיל את המספר 7- בעצמו נקבל 49 ולכן 7- הוא גם גם שורש של 49 או \(\sqrt{49}=-7\)
שאלה 3 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 100?
אם נכפיל את המספר 10 בעצמו נקבל 100 ולכן 10 הוא שורש של 100 או \(\sqrt{100}=10\)
אם נכפיל את המספר 10- בעצמו נקבל 100 ולכן 10- הוא שורש של 100 או \(\sqrt{100}=-10\)
שאלה 4 :איזה מספר חיובי בחזקת 2 שווה ל 6.25?
אם נכפיל את המספר 2.5 בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5 הוא שורש של 6.25 או \(\sqrt{6.25}=-2.5\)
אם נכפיל את המספר 2.5- בעצמו נקבל 6.25 ולכן 2.5- הוא גם שורש של 6.25 או \(\sqrt{6.25}=-2.5\)
ניתן לפרק לשורשים מכפלות בתוך השורש \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\)
פתרו את התרגיל הבא:
\(\sqrt{25 \cdot 9}\)
פתרון:
אפשר לפצל את המכפלה שבתוך השורש למכפלה של שורשים לפי
\(\sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9}\)
מאחר ו
\(\sqrt{25} = 5\)
ו
\(\sqrt{9} = 3\)
נקבל כי
\(\sqrt{25 \cdot 9} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} = 5 \cdot 3 = 15\)
פתרו את התרגיל הבא:
\(\sqrt{36}\)
פתרון:
אפשר לפצל את המספר שבתוך השורש למכפלה של שני מספרים שיהיה לנו קל יותר להוציא מתוכם שורש
\(\sqrt{36} = \sqrt{4 \cdot 9}\)
מאחר ו
\(\sqrt{4} = 2\)
ו
\(\sqrt{9} = 3\)
נקבל כי
\(\sqrt{36} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6\)
פשטו את הצגת השורש הבא:
\(\sqrt{50}\)
פתרון:
כדי לפשט את הצגת שורש 50 נצטרך לפרק את 50 למכפלה של שני מספרים שמאחד מהם לפחות נוכל להוציא שורש
\(50=25 \cdot 2\)
כעת נציג את 50 בתוך השורש כסכום מכפלה
\(\sqrt{50} = \sqrt{2 \cdot 25}\)
מאחר ו
\(\sqrt{2} = \sqrt{2}\)
ו
\(\sqrt{25} = 5\)
נקבל כי
\(\sqrt{50} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25} = \sqrt{2} \cdot 5 = 5 ֿ\cdot \sqrt{2}\)
פשטו את הצגת השורש הבא:
\(\sqrt{16 \cdot x^2}=?\)
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
מאחר ו
\(\sqrt{x^2} = x\)
ו
\(\sqrt{16} = 4\)
נוכל לרשום את השורש גם גם כ
\(\sqrt{16 \cdot x^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} = 4 \cdot x \)
מצאו את x אם נתונה המשוואה הבאה:
\(\sqrt{25 \cdot x^2}=35\)
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
מאחר ו
\(\sqrt{x^2} = x\)
ו
\(\sqrt{25} = 5\)
נוכל לרשום את השורש גם גם כ
\(\sqrt{25 \cdot x^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} = 5 \cdot x \)
ומאחר והערך של מה שמתחת לשורש הוא 35
\(5 \cdot x =35\)
נחלק את שני האגפים ב5 ונקבל
\(x=7\)
פשטו את הצגת השורש הבא:
\(\sqrt{64 \cdot x^4}=?\)
פתרון:
נפרק את המכפלה שבתוך השורש ונוציא מהשורש
ומאחר ו
\(\sqrt{x^4} = x^2\)
ו
\(\sqrt{64} = 8\)
נוכל לרשום את השורש גם גם כ
\(\sqrt{64 \cdot x^4} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{x^4} = 8 \cdot x^2 \)
\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\) מתקיים רק כש \( a>0 , b>0, n \in N\)
שאלה 1:פתרו את תרגיל הבא
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}=?\)
פתרון:
ניתן לפתור בכמה דרכים
דרך ראשונה פירוק של מספר תחת השורש לסכום של מכפלה
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{\sqrt{2}}\)
נמשיך
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
נצמצם את השבר ב שורש 2 ונקבל
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{16} = 4\)
דרך שניה שימוש בהכנסת השבר לשורש
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}}\)
נצמצם ונקבל
\(\sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4\)
ולכן שוב
\(\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = 4\)
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) מתקיים רק כש \( a>0 , b>0, n \in N\)
פתרו את התרגיל הבא או צמצמו ככל האפשר
\(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}\)
פתרון:
מאחר וכל השורשים הם שורש מסדר שלישי נוכל לחבר מכפלות של אותו השורש פנימה, כך:
\(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5 \cdot 25}\)
נמשיך לפתור
\(\sqrt[3]{5 \cdot 25} = \sqrt[3]{125} = 5\)
אפשר לראות ששורש שלישי של 125 הוא 5 כך
\(\sqrt[3]{5 \cdot 25} = \sqrt[3]{5 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt[3]{5^3}\)
ומכאן
\(\sqrt[3]{5^3} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5\)
פתרו את התרגיל הבא או צמצמו ככל האפשר
\(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{64} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} = ?\)
פתרון:
מאחר ומדובר במכפלה של איברים, נוכל לשנות את סדר המכפלה
\(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} \)
אנחנו רואים שיש לנו שורשים משתי מעלות שונות, ממעלה רביעית ומעלה שלישית
נכנס את האיברים לתוך השורשים ממעלה זהה
\(\sqrt[3]{5 \cdot 25} \cdot \sqrt[4]{100 \cdot 4}\)
את התוצאה של \(\sqrt[3]{5 \cdot 25}\) אנחנו כבר יודעים מהשאלה הקודמת 5
נותר לנו לנסות ולעצב את \(\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} \)
בואו נראה
\(64= 4 \cdot 4 \cdot 4\)
ואילו
\(100 = 25 \cdot 4\)
נוכל לכתוב זאת בצורה שונה
\(\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{64 \cdot 100} = \sqrt[4]{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 25}\)
לכן
\(\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 25}=\sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{25}\)
ולבסוף
\(\sqrt[4]{100} \cdot \sqrt[4]{64} = 4 \cdot \sqrt[4]{25}\)
ולתוצאה הסופית
\(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{64} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[4]{100} = 5 \cdot 4 \cdot \sqrt[4]{25} = 20 \cdot \sqrt[4]{25}\)
שורש של שורש – התוצאה היא מכפלה של מעריכי השורש \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}\)
מה אנחנו רואים כאן בעצם?
אנחנו יודעים שהמעריך של השורש הוא למעשה חזקה של 1 חלקי:
\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\)
למשל אפשר להציג שורש 7 של 128 גם כך
\(\sqrt[7]{128} = 128^{\frac{1}{7}}\)
שורש בתוך שורש הוא בעצם חזקה של חזקה
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = (a^{^{\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{m}}\)
נוכל לצמצם את הביטוי
\((a^{^{\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{m}} = (a)^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}}\)
ולכן
\((a)^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = (a)^{\frac{1}{n \cdot m}}\)
ומכאן אנחנו מגיעים לביטוי השורש
\((a)^{\frac{1}{n \cdot m}} = \sqrt[n \cdot m]{a}\)
תרגילים לדוגמא
שאלה 1 :
פשטו את השורש הבא
\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{256}} = ?\)
מכיוון שיש לנו כאן שורש בתוך שורש, אפשר להוציא שורש אחד שהחזקה שלו היא מכפלת המעריכים, במקרה שלנו 2 ו 2
\(\sqrt[2]{\sqrt[2]{256}} = \sqrt[2 \cdot 2]{256} = \sqrt[4]{256} \)
אגב בטבלה למטה נוכל לראות ששורש רביעי של 256 הוא 4
שורשים שכדאי לדעת
| \(\sqrt[4]{16}=2\) | \(\sqrt[3]{8}=2\) | \(\sqrt{81}=9\) | \(\sqrt{4}=2\) | \(\sqrt{1}=1\) |
| \(\sqrt[4]{81}=3\) | \(\sqrt[3]{27}=3\) | \(\sqrt{100}=10\) | \(\sqrt{9}=3\) | \(\sqrt{0}=0\) |
| \(\sqrt[4]{256}=4\) | \(\sqrt[3]{32}=2\) | \(\sqrt{121}=\) | \(\sqrt{16}=\) | \(\sqrt{2}=1.41\) |
| \(\sqrt[4]{625}=5\) | \(\sqrt[3]{125}=5\) | \(\sqrt{144}=12\) | \(\sqrt{25}=5\) | \(\sqrt{3}=1.73\) |
| \(\sqrt[4]{1,296}=6\) | \(\sqrt[3]{216}=6\) | \(\sqrt{169}=13\) | \(\sqrt{36}=6\) | \(\sqrt{5}=2.23\) |
| \(\sqrt[4]{2,401}=7\) | \(\sqrt[3]{343}=7\) | \(\sqrt{196}=14\) | \(\sqrt{49}=7\) | \(\sqrt{6}=2.449\) |
| \(\sqrt[4]{4,096}=\) | \(\sqrt[3]{512}=8\) | \(\sqrt{225}=15\) | \(\sqrt{64}=8\) | \(\sqrt{7}=2.645\) |