בשיעור הבא נעבור על הנושאים הבאים:
- איך מכפילים שני שברים – הכללים הבסיסיים
- כפל שבר פשוט בשבר פשוט או שבר מדומה
- כפל שבר פשוט בשלם
- כפל שבר בשבר מעורב
ברגע שתביבנו את בסיס הנושאים הנ״ל, תוכלו לכפול שברים מכל סוג בכל פעם
איך מכפילים שני שברים?
הדבר הראשון שנצטרך להבין הוא שבפעולת כפל בין שברים יש לכפול מונה במונה ומכנה במכנה, זה הכל.
\(\frac{מונה 1}{מכנה 1} \cdot \frac{מונה 2}{מכנה 2} = \frac {מונה 2 \cdot מונה 1}{מכנה 2 \cdot מכנה 1}\)
בואו נתקדם לנקודה הבאה (דומה מאוד לנקודה הזאת)
איך מכפילים שבר פשוט בשבר פשוט?
צורת הכפל הפשוטה ביותר בין שברים היא של שבר פשוט בשבר פשוט, כמו בהסבר למעלה, נכתוב את הדוגמה הבאה:
תרגיל 1:
פתרו את המכפלה הבאה:
\(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}=?\)
כאמור יש לכפול מונה במונה ומכנה ומכנה, נעשה זאת
\(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= ֿֿ\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5}\)
נחשב עוד
\( ֿֿ\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 5}=\frac{9}{25}\)
תוצאה
\(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}=ֿ\frac{9}{25}\)
\(\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}=?\)
כאמור יש לכפול מונה במונה ומכנה ומכנה, נעשה זאת
\(\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}= ֿֿ\frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 10}\)
נחשב עוד
\(\frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 10}=\frac{63}{80}\)
תוצאה
\(\frac{7}{8} \cdot \frac{9}{10}=ֿ\frac{63}{80}\)
פתרו את מכפלת השברים הבאה
\(\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{8}\)
מכפלה של מספר גדול של שברים פשוטים אינה שונה ממכפלה של שני שברים פשוטים
התוצאה תהיה החלוקה שבין מכפלת המונים למכפלת המכנים, בואו נראה
\(\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{5\cdot 7 \cdot 8 }\)
\(\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{5\cdot 7 \cdot 8 } = \frac{6}{280}\)
אגב, ניתן לצמצם את התוצאה פי 2
\(\frac{6}{280}=\frac{3}{140}\)
איך מכפילים שבר פשוט בשלם?
כדי להכפיל שבר פשוט בשלם נהפוך את השלם לשבר ונכפול את שברים בצורה רגילה.
למי שמבין את השלב למעלה, אפשר פשוט לכפול את המונה (או אחד המונים) במספר השלם.
פתרו את המכפלה הבאה:
\(3\cdot \frac{3}{5}=?\)נהפוך את השלם 3 לשבר 3 חלקי 1 ונמשיך בפיתרון
\(\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{5}\)
מכאן נמשיך במכפלה רגילה של שני שברים
\(\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{ 1 \cdot 5} = \frac{9}{5}\)
פתרו את המכפלה הבאה:
\(\frac{1}{3} \cdot 2\cdot \frac{2}{7}=?\)נהפוך את השלם 2 לשבר 2 חלקי 1 ונמשיך בפיתרון
\( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{7}=? \)
מכאן נמשיך במכפלה רגילה של שני שברים
\(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{7}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 1 \cdot 7}\)
הפתרון
\(\frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 1 \cdot 7} = \frac{4}{21}\)
פתרו את התרגיל הבא
\([ ? ] \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{7}\)
איך נוכל לדעת אם השבר מוכפל בשבר או בשלם?
מכיוון שאנחנו רואים שהמכנה של תוצאת המכפלה לא השתנה, נכון מי להבין שמדובר במכפלה בשלם
ברגע שהבנו את השאלה הזאת, אנחנו יכולים להמשיך ולפתור כך
נהפוך את השלם לשבר
\([ ? ] \cdot \frac{3}{7} =\frac{[ ? ]}{1} \cdot \frac{3}{7} \frac{15}{7}\)
כעת נבצע את פעולת הכפל
\(\frac{[ ? ] \cdot 3}{1 \cdot 7} = \frac{15}{7}\)
לפתרון נצטרך לבדוק איזה מספר כפול 3 יתן לנו 15 שהוא המנוה של שבר התוצאה
\([ ? ] \cdot 3 = 15\)
לכן התוצאה היא
5
\(5 \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{7}\)
איך מכפילים שבר בשבר מעורב או שבר מעורב בשבר מעורב?
נזכור ששבר מעורב היא שילוב של שבר פשוט עם שלם ושהוא הצגה נוספת של שבר מדומה. הדרך לפיתרון
- נמיר את השברים המעורבים לשברים מדומים
- נבצע הכפלה ״רגילה״ של שניים או יותר שברים
קודם כל נזכר איך עוברים משבר מעורב לשבר מדומה:
נביט בשבר הבא:
\(2\frac{4}{7}\)
אפשר להציג את השבר הזה כחיבור של שלם ושבר,כך:
\(2+\frac{4}{7}\)
נהפוך את חלק השלם של השבר הזה לשבר, כך:
\(\frac{14}{7} + \frac{4}{7}\)
שימו לב שכדי שנוכל לחבר בין שני השברים בקלות, נהפוך את השלם לשבר בעל אותו המכנה כמו השבר שלצידו
כעת נבצע את פעולת החיבור ונקבל:
\(\frac{14}{7} + \frac{4}{7}=\frac{14+4}{7}=\frac{18}{7}\)
נסכם את המעבר משבר מעורב לשבר מדומה
\(2 + \frac{4}{7}=\frac{18}{7}\)
בואו נפתור כמה תרגילים:
פתרו את התרגיל הבא
\(2\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}=?\)
נמיר את השברים המעורבים לשברים מדומים, ע״י הוספת מכנה כפול השלם למונה שלהם (למי ששכח שיחזור על ההסבר שלפני התרגיל)
\(\frac{2 \cdot 3+1}{3}\cdot \frac{2}{5}=?\)
נמשיך לפתור
\(\frac{6+1}{3}\cdot \frac{2}{5}=?\)
ונקבל כעת מכפלה של שבר מדומה בשבר רגיל
\(\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=?\)
נכפיל מונה במונה ומכנה במכנה ונגיע לתשובה
\(\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 2}{3\cdot 5} = \frac{14}{15}\)
\(3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{7}{9}=?\)
נתחיל בהמרה של השברים המעורבים לשברים מדומים
\(3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{7}{9}=\frac{3\cdot 4 + 3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9 +7}{9}\)
בשלב השני
\(3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{7}{9}=\frac{15}{4} \cdot \frac{43}{9}\)
נכפיל מונה במונה ומכנה במכנה
\(3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{7}{9}=\frac{15 \cdot 43}{4 \cdot 9}\)
\(3\frac{3}{4} \cdot 4\frac{7}{9}=\frac{643}{36}\)
למי שרוצה להמשיך בפתרון, אפשר לצמצם את תוצאת המכפלה לשבר מעורב
נבדוק מה מספר הפעמים המקסילמלי 36 נכנס ב643
63 נכנס 17 פעמים ב643 ומשאיר 31 שארית
\(\frac{632}{36} = \frac{17 \cdot 16 + 31}{36}=17\frac{31}{36}\)