חוקי נגזרות | חוקי נגזרת

תרגיל 1:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(f(x) = 3x^5\)
פתרון והסבר
נשתמש בחוק הראשון שלמדנו
\(f'(x)=n \cdot ax^{n-1}\)
ולכן נגזרת הפונקציה, תהיה:
\(f'(x)=5 \cdot 3x^{4} = 15x^4\)

תרגיל 2:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(y(x) = -7x^2 + 2x\)פתרון והסבר
נשתמש בשני החוקים שלמדנו על גזירת חזקה והחוק המתאר את גזירת סכום פונקציות
\(f'(x)=n \cdot ax^{n-1}\) ו \((f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)\)
פתרון והסבר:
עם הניסיון תוכלו לגזור את הפונקציה בשלב אחד, אבל בואו ונעשה זאת בכמה שלבים:
ראשית נוכל לתאר את הפונקציה y כסכום של שתי פונקציות
\(f(x)=-7x^2\) ו \(g(x)=2x\)
נגזור כל אחת מהן בנפרד ואז נחבר אותם לפי\((f(x)+g(x))’ = f'(x)+g'(x)\)\(f'(x)=-2 \cdot 7x\)
ו
\(g'(x)=2\)ולכן:
\(y'(x) = f'(x)+g'(x) = -7x+2\)

תרגיל 3:
גזרו את הפונקציה הבאה:
\(y(x) = 3x(2x-x^2)\)
פתרון והסבר
נשתמש בחוק לגזירת מכפלה של פונקציות
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)במקרה שלנו
\(f(x) = 3x \rightarrow f'(x)=3\)
ו
\(g(x) = 2x-x^2 \rightarrow g'(x) = 2-2x\)כעת נציב את שנגזרות והפונקציות בנוסחה
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
ונקבל
\(y'(x) = 3 \cdot (2x-x^2 ) + (2-2x) \cdot 3x\)
נפתח סוגריים ונקבל
\(y'(x) = 6x -3x^2 +6x -6x^2\)
ונסיים
\(y'(x) = 12x-9x^2\)
לא חובה, אבל אפשר לבדוק את עצמנו
אם נגזור את תוצאת המכפלה הראשונה
\(y(x) = 3x(2x-x^2) = 6x^2 – 3x^3\)
כעת פשוט נגזור את הסכום הזה
\(y'(x) = (6x^2 – 3x^3)’ = 2 \cdot 6x – 3\cdot 3x^2\)
נסיים את הבדיקה
\(y'(x) = 12x-9x^2\)

תרגיל 4:
גזרו את פונקציה הזורש הבאה:
\(f(x) = \sqrt {7x+1}\)
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
\(f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x) \)
כאשר \(g(x) = 7x +1\) נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר \(g'(x)=7\)
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{7x+1}}\cdot 7\)
נצמצם עוד קצת ונקבל את הנגזרת
\(f'(x) = \frac{7}{2\sqrt{7x+1}}\)

תרגיל 5:
גזרו את פונקציה השורש הבאה:
\(f(x) = \sqrt {2x^2-5x+3}\)
פתרון והסבר
היות ובשורש יש פונקציה שהנגזרת שלה שונה מ1, אנחנו משתמשים בנוסחה הבאה:
\(f(x) = \sqrt {g(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}}\cdot g'(x) \)
כאשר \(g(x) = 2x^2-5x+3\) נגזור אותה כדי שנוכל להשתמש בנוסחה בקלות יותר \(g'(x)=4x-5\)
כעת בואו נציב את הכל בנוסחה
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}\cdot (4x-5)\)נכתוב שוב ונציג בצורה פשוטה יותר
\(f'(x) = \frac{4x-5}{2\sqrt{2x^2-5x+3}}\)

תרגיל 6

גזרו את הפונקציה הבאה:
\((2x+1)(\sqrt{2x+1})\)

פתרון והסבר

זאת הדוגמא המסובכת ביותר עד עכשיו
בעצם יש לנו מכפלה של שתי פונקציות
\(f(x) = (2x+1)\) ו \(g(x)=\sqrt{2x+1}\)

לגזירת הפונקציה נשתמש בנוסחה לגזירת מכפלות
אם נתונה המכפלה הבאה:\(y = f(x)\cdot g(x)\)
אז הנגזרת של הפונקציה נתונה ע״י
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)

בואו נפריד את המכפלה לשתי פונקציות, נגזור כל אחת בנפרד ונחבר הכל ביחד
\(f(x) = (2x+1) \Rightarrow f'(x) = 2\)

\(g(x) = \sqrt{2x+1}\)
הנגזרת קצת יותר מורכבת פה
\(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)’ \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2\)
ונקבל נגזרת
\(g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\)

עכשיו רק נותר לבצע את המכפלות
\(y’ = f'(x)\cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
אז
\(2 \sqrt{2x+1} + (2x+1)\frac{1}{\sqrt{2x+1}} \)
נכתוב יפה יותר, כך
\(2 \sqrt{2x+1} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

שימו לב שיש טריק לכתיבה נוחה יותר של הנגזרת הסופית
נכפיל ונחלק את החלק השמאלי של הנגזרת ב \( \sqrt{2x+1}\)
ונקבל
\(2 \sqrt{2x+1}\cdot\frac{ \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

מה יש לנו כאן?
\(\frac{2 \sqrt{2x+1}\cdot \sqrt{2x+1}}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

\(\frac{2\cdot(2x+1)}{ \sqrt{2x+1}} + \frac{2x+1}{\sqrt{2x+1}} \)

נחבר את את שני השברים בעלי המכנה המשותף
\(\frac{2\cdot(2x+1) +(2x+1)}{ \sqrt{2x+1}} \Rightarrow \frac{6x+3}{ \sqrt{2x+1}} \)
זהו סיימנו עם התרגיל הזה!!!