משהו משפט פיתגורס?

משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים המוכרים בגאומטריה. המשפט אומר שבמשולש ישר זווית סכום ריבועי הצלעות האנכיות שווה לריבוע היתר.

\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)

הוכחת משפט פיתגורס:

ישנן למעלה מ10 הוכחות שונות למשפט פיתגורס, הנה אחת מהמוכרות שבהן:

הוכחת משפט פיתגורס 1

אם ניקח 4 משולשים ישר זווית בעלי שני אנכים a ו b ויתר c.

למעשה קיבלנו שני ריבועים:

ריבוע פנימי שאורך צלעו c

ריבוע חיצוני שאורך צלעו a+b

מכאן אפשר לחשב את השטח של ריבוע הגדול בשתי דרכים ולהגיע לשיוויון פיתגורס, כך:

צד שמאל של המשוואה הוא שטח הריבוע הגדול בעל צלע באורך a+bהמצד שני הוא שטח הריבוע הפנימי בעל צלע באורך c ובנוסף שטח 4 משולשים בעלי אנכים a ו b:
\(\left ( a+b \right )^{2} = c^{2}+4\cdot \frac{a\cdot b}{2}\)

נפשט את שני הצדדים:
\(a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2} = c^{2} + 2\cdot a\cdot b \)
כעת נחסיר משני האגפים 2ab ונקבל את משפט פיתגורס, מש״ל:
\(a^{2}+b^{2} = c^{2}\)

שימושים למשפט פיתגורס:

אחד השימושים הנפוצים למשפט פיתגרוס הוא מציאת אלכסונים במרובעים ומציאת אורך היתר במשלושים ישרי זווית:

תרגיל 1:
שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך היתר במשולש ישר זווית:נתון המשולש הבא:פיתגורס משולש ישר זוית- שאלה 1

נתון כי אורכי הצלעות הם:

BC = 6

AB = 8

  1. חשבו את אורך היתר (AC) במשולש
  2. חשבו את שטח המשולש

פתרון:

לחישוב אורך היתר נשתמש במשפט פיתגורס:

\(Ac^{2} = BC^{2} + AB^{2}\)
נציב את אורכי הצלעות ונקבל
\(AC^{2} = 6^{2}+8^{2}=36+64=100\)
נוציא שורש ונקבל
\(AC = \sqrt{100} =10\)

 

תרגיל 2:
שימוש במשפט פיתגורס לחישוב אורך ניצב טשטח משולש ישר זווית:נתון המשולש הבא, אורכי הצלעות נתונים בשרטוט

פיתגורס משולש ישר זוית- שאלה 2

מצאו את אורך הגובה AB וחשבו את שטח משולש ABC

פתרון:

ראשית נחשב לפי משפט פיתגורס את אורך הגובה BC ע״י שימוש במשפט פיתגורס:

\(AC^{2} = BC^{2} + AB^{2}\)
נבודד את היתר החסר במשוואת פיתגורס:
\(BC^{2} = AC^{2} – AB^{2} = 13^{2} – 12^{2} = 169-144
=25\)
נוציא שורש ונקבל את אורך היתר החסר
\(BC = \sqrt{25} = 5\)
כעת נחשב את שטח המשולש לפי:
\(S = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2}\cdot12\cdot 5=60\)

כתיבת תגובה

The maximum upload file size: 2 MB. You can upload: image. Links to YouTube, Facebook, Twitter and other services inserted in the comment text will be automatically embedded. Drop file here

סגירת תפריט